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第1章[pdf]:
1.1 简介
1.2 先进飞翼设计 - 周期2
1.3 集成飞机设计和多学科优化MDO
1.4 空气动力学设计和计算空气动力学CFD

问题复习：

  1. 解释为什么图1.14 （附在下方以便参考）的亚音速平面布局升阻比L/D曲线会随着马赫数的增加而下降。
  1. 解释/阐述弱耦合多学科优化（MDO）的概念。
  1. 提供并解释CFD数据和其他学科交换的例子。
  1. 图1.3(附在下方以便参考) 显示了最大升阻比 L/D max 随着展弦比AR 的变化。 使用近似关系 Eq. 1.5 检查曲线的形状。
  1. 下列有限维优化任务,
              min g(y), y = (flow) variable dim N
              s.t. f(x,y) = 0, x = shape parameters of dim M, M << N

为什么伴随法计算梯度 dg/dx 的计算成本是使用直接梯度法计算成本的 1/M ?
提示: dg/dx = dg/dy dy/dx; df/dx + df/dy dy/dx = 0, 所以直接梯度：
              dy/dx = – (df/dy)-1 df/dx
              df/dy 是 NxN 矩阵, dy/dx 和 df/dx 是 NxM 矩阵，dg/dy 是 1 x N 向量。
则,
              dg/dx = – dg/dy (df/dy)-1 dy/dx.
这个矩阵的乘积该如何计算?

  1. 这是一架 Piper J-3 Cub 飞机和海平面大气条件的相关数据：

b = 10.74 m, MTOW = 550 kg, S  = 16.6 m2, ρair = 1.2 kg/m3.
最佳爬升速率 (Vy) 450 ft./min, 据对高度限制为 14,000 ft., 巡航速度 73 mph,
最高速度 83 mph, 失速速度 (Vs) 39 mph, 最佳滑行速度 (Vgl) 50 mph。
Piper飞机的阻力极曲线图可能可以得到，但我们可以使用上述数据来进行近似计算：
               CD = CD0 + k CL2
运用上述近似计算公式可以得到相当不错的估算结果；因此，需要得到 k 和 CD0 的数值。首先，升力线理论给出了 k 的估算值,
               k = 1/(e π AR)
其中 e 是展弦比效率银子，其最大值为1，我们将其取为0.85。

在考虑攻角 α 和飞行轨迹角度 q 的情况下，假设推力矢量与飞机水线对齐的平衡方程为：
              T sin α + L – W cos α = 0 (1)
              T cos α – D – W sin α = 0 (2)
在滑行中，推力 T = 0。根据方程(1) 和 (2) 的比率，可以得出最佳滑行角度为：that the best glide angle has
                θopt = – atan(1/max(CL(α)/CD(α)) = – atan(sqrt(k CD0)) approx = – sqrt(k CD0) 
                CDopt = 2 CD0
使用上述结论在方程 (2) 中推导得出的结果是：
               CD0 = [W sqrt(k) / (ρair S Vgl2)]2
生成的这些数值已经在cfd.m 函数中的表格里使用，用于后续的练习和计算中。

  1. W 和 S 应被视为设计参数。对于平直水平飞行的飞机，当 θ = 0 时，有四个变量： T/W， W/S， α 和 V，并符合下列两个约束关系：
                  T/W W/S cos α -1/2 ρair V2 CD(α) = 0
                  T/W W/S sin α + 1/2 ρair V2 CL(α) – W/S =  0
    该经典情况通过地毯图阐明。将 W/S 重命名为 x， 将 T/W 重命名为 y：
                  x y cos α -1/2 ρair V2 CD(α) = 0
                  x y sin α + 1/2 ρair V2 CL(α) – x =  0
    绘制一个用于海平线飞行的T/W (y) -W/S (x) 图表，如下所示：
% make lists Vlist(1:nV) and alist(1:na)

for i = 1:nV
   for j = 1:na
      % solve equations for x and y to get x(i,j) and y(i,j)
   end j
   % plot the curve {x(i,:),y(i,:)}
end i
for j = 1:na
  % plot the curve {x(:,j),y(:,j)}
end j


图表显示：对于给定的推力和重量，可以以两种不同的 (α, V) 飞行，一种是大攻角α 低速 V， 另一种是小攻角α 高速 V。这两者在维持飞行的最低推力处重合。假设你正在以最佳巡航速度飞行，如果增大攻角 α 会发生什么？在不改变攻角 α 的情况下，加大油门会怎样？

  1. 文件夹 .../Ch1 包含使用 Octave 优化工具箱 optim 中的 fmincon 优化器运行非线性优化问题的例程。fmincon 通过求解一个由目标函数 objf(X)、参数 X 的上下边界 lb 和 ub 以及由函数 constr(X) 定义的非线性(等式或不等式）约束的非线性优化问题来实现优化。运行脚本 opt1.m 来进行优化； 通过将全局变量 DEMO 设置为 1 或 2 来选择问题。

DEMO = 1 研究在海平面高度平直水平 (θ = 0) 飞行中寻找最小推力所需的攻角 α 和空速 V 的问题 – 即最佳巡航问题。

              min over (α,V)   T =  D/cos α=  q S CD/cos α
              q = 1/2 ρair V2
              subject to the constraint
              L = q S CL >=  W,  - T sin α = W - q S CD tan α .


由于 W = MTOW g、 S、和 ρair 是常数， 我们可以将问题进行尺度变换。
设 r = 1/2 S ρair, w0 = W/r；
寻找最值优化问题：

              min   V2 CD(α)/cos α over X = (α,V) 
              subject to the constraint
              V2 CL(α) >=  w0  - V2 CD(α) tan α

空气动力学由 CL(α)、 CD(α) 表格定义，因为 cfd 函数只需要在这些表格中进行插值，并返回 [CL CD] 的值。
函数 objf 调用 cfd 获取性能参数 prop, 并返回 FoM。约束函数 constr 调用 cfd 获取参数 prop 并返回 c 值，且值必须 <= 0。

演示程序 opt1.m 解决了这个问题：

  • 运行程序，使用不同的机翼面积（不同的机翼载荷），并记录最佳的 α 。
  • 通过分析，验证最优点出现在可将CL/CD + tan α 最大化的 α 处这个结论 – 请确定这些项中哪些项占主导地位？
  • 然后展示，最大升阻比 L/D max 的点可通过原点直线与阻力极曲线的切点找到。
  • 将你得出的结果和练习6中给出的巡航速度相比较。

接下来的任务是修改 objf 和 constr 两个函数，当推力 T 为最大推力 Tmax 时，求解 α、V 、θ、T 使得爬升速率 V sin θ 达到最大爬升速率。设 r = 1/2 S ρair， w0 = W/r。

              max V sin θ over (α,V,θ,T)
              T cos α – V2 CD(α) – w0 sin θ = 0
              T sin α + V2 CL(α) – w0 cos θ = 0
              T <= Tmax/r

通过在opt1 中将全局变量设置为 DEMO = 2 来解决该问题，此时 constr定义了两个等式约束，T的限制为在 ub 中定义的上限。你的任务是填写缺失的代码行，并使用不同的初始值进行优化。

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